Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=3a_n，n∈N₊，數(shù)列{b_n}滿足：b_n=log₃a_n，n∈N₊，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及{a_n}前n項(xiàng)的和T_n；
（2）數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_nb_n，求{c_n}前n項(xiàng)的和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）判斷數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，然后求解數(shù)列的通項(xiàng)公式及{a_n}前n項(xiàng)的和T_n；
（2）利用關(guān)系式求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式c_n=a_nb_n，利用錯(cuò)位相減法求{c_n}前n項(xiàng)的和S_n．

解答： 解：（1）由已知a₁=1，a_n+1=3a_n得{a_n}為等比數(shù)列，公比為3，首項(xiàng)為1，
故an=a1qn-1=3n-1，Tn=

a1(1-qn)

1-q

=

1-3n

1-3

=

1

2

(3n-1)----------（5分）
（2）bn=log3an=log33n-1=n-1cn=anbn=(n-1)3n-1…．（7分）
Sn=(1-1)31-1+(2-1)32-1+(3-1)33-1+…+(n-1)3n-1…①…（9分）
①式左右兩端乘以3得：3Sn=(1-1)31-13+(2-1)32-13+(3-1)33-13+…+(n-1)3n-1.3
即3Sn=(1-1)32-1+(2-1)33-1+(3-1)34-1+…+(n-1)3n-1+1．…．②
①-②錯(cuò)位相消得：-2Sn=31+32+33+…+3n-1-(n-1)3n．
故得   Sn=

3(1-3n-1)

4

+

1

2

(n-1)3n…．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列求和的方法錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，等比數(shù)列的應(yīng)用，遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．