Question

12．正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且4S_n=${a}_{n}^{2}$+2a_n，若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n•sin$\frac{2nπ}{3}$，{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，則T₆=$-2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列{a_n}為以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式后代入b_n=a_n•sin$\frac{2nπ}{3}$，結(jié)合三角函數(shù)的值得答案．

解答 解：n=1時，$4{a}_{1}={{a}_{1}}^{2}+2{a}_{1}$，解得：a₁=2（a₁＞0），
當(dāng)n≥2時，由4S_n=${{a}_{n}}^{2}$+2a_n，得$4{S}_{n-1}={{a}_{n-1}}^{2}+2{a}_{n-1}$，
兩式相減得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
∵{a_n}為正項(xiàng)數(shù)列，
∴a_n+1-a_n=2，
則數(shù)列{a_n}為以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=2n-1，
則b_n=a_n•sin$\frac{2nπ}{3}$=（2n-1）sin$\frac{2nπ}{3}$，
∴T₆=$1×sin\frac{2π}{3}+3×sin\frac{4π}{3}+5×sin2π+7×sin\frac{8π}{3}$$+9×sin\frac{10π}{3}+11×sin4π$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}+3×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）+0+7×\frac{\sqrt{3}}{2}+$$9×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）$
=$-2\sqrt{3}$．
故答案為：$-2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的求和，考查等差關(guān)系的確定，考查三角函數(shù)值得求法，是中檔題．