已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為1的正方形．AA1=2，∠A1AB=∠A1AD=120°．
（1）求線段AC1的長；
（2）求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值．
考點：異面直線及其所成的角,點、線、面間的距離計算
專題：空間角
分析：（1）設(shè)
AB
=
a
，
AD
=
b
，
AA1
=
c
，由于
AC1
=
a
+
b
+
c
，利用數(shù)量積運算性質(zhì)
AC1
2=(
a
+
b
+
c
)2=
a
2+
b
2+
c
2+2
a
•
b
+2
a
•
c
+2
b
•
c
即可得出．
（2）利用向量夾角公式cos＜
A1D
，
AC1
＞=
A1D
•
AC1
|
A1D
||
AC1
|
即可得出．
解答： 解：（1）設(shè)
AB
=
a
，
AD
=
b
，
AA1
=
c
，
則|
a
|=|
b
|=1，|
c
|=2，
a
•
b
=0，
a
•
c
=
b
•
c
=2×1×cos120°=-1．
∵
AC1
=
a
+
b
+
c
，
∴
AC1
2=(
a
+
b
+
c
)2=
a
2+
b
2+
c
2+2
a
•
b
+2
a
•
c
+2
b
•
c
=1+1+4+0-2-2=2，
∴|
AC1
|=
2
．
（2）
A1D
=
b
-
c
，
∴|
A1D
|=
b
2+
c
2-2
b
•
c
=
1+22-2×(-1)
=
7
．
A1D
•
AC1
=(
b
-
c
)•(
a
+
b
+
c
)=
a
•
b
+
b
2-
a
•
c
-
c
2=0+1-（-1）-22=-2．
∴cos＜
A1D
，
AC1
＞=
A1D
•
AC1
|
A1D
||
AC1
|
=
-2
7
×
2
=-
14
7
．
∴異面直線AC1與A1D所成角的余弦值為
14
7
．
點評：本題考查了向量的平行六面體法則、數(shù)量積運算性質(zhì)、向量夾角公式，考查了空間想象能力，考查了計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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一名學生每天騎自行車上學，從家到學校的途中有5個交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是
1
3
．
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（2）求這名學生在首次遇到紅燈或到達目的地停車前經(jīng)過的路口數(shù)η的分布列；
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3
4
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11
18
．
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1
2
，
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π
4
+x）-
3
cos2x．
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