Question

6．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax-x²（a∈R）．
（1）若f（x）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）證明ln（n+1）＜$\frac{2}{{1}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{n}^{2}}$（n為正整數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）若f（x）≤0恒成立，即a≤x-$\frac{lnx}{x}$在（0，+∞）恒成立，設(shè)g（x）=x-$\frac{lnx}{x}$，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可；
（2）根據(jù)a=1時(shí)，f（x）≤0可以推出ln（x+1）-x²-x≤0，令x=$\frac{1}{n}$，可以得到ln（$\frac{1}{n}$+1）＜$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$，利用此不等式進(jìn)行放縮證明即可．

解答 解：（1）若f（x）≤0恒成立，即a≤x-$\frac{lnx}{x}$在（0，+∞）恒成立，
設(shè)g（x）=x-$\frac{lnx}{x}$，（x＞0），
g′（x）=1-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+lnx-1}{{x}^{2}}$，
令h（x）=x²+lnx-1，（x＞0），
h′（x）=2x+$\frac{1}{x}$＞0，
h（x）在（0，+∞）遞增，
而h（1）=0，
∴x∈（0，1）時(shí)，h（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＞0，
即x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
∴g（x）≥g（1）=1，
∴a≤1．
（2）由（1）得：a=1時(shí)，f（x）=lnx+x-x²≤0，
故lnx≤x²-x，即ln（x+1）≤x（x+1），（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立）
對(duì)任意正整數(shù)n，取x=$\frac{1}{n}$＞0得，ln（$\frac{1}{n}$+1）＜$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$，
∴l(xiāng)n（$\frac{n+1}{n}$）＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$，
故$\frac{2}{{1}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{n}^{2}}$＞ln2+ln$\frac{3}{2}$+ln$\frac{4}{3}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$=ln（n+1），
即ln（n+1）＜$\frac{2}{{1}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{n}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及單調(diào)性，解題過程中用到了分類討論的思想，分類討論的思想也是高考的一個(gè)重要思想，要注意體會(huì)其在解題中的運(yùn)用，第二問難度比較大，利用了（1）問的結(jié)論進(jìn)行證明．