Question

17．已知正三棱錐P-ABC底面邊長為6，底邊BC在平面α內(nèi)，繞BC旋轉(zhuǎn)該三棱錐，若某個時刻它在平面α上的正投影是等腰直角三角形，則此三棱錐高的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\sqrt{6}$]
• B． （0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]∪[$\sqrt{6}$，3]
• C． （0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]
• D． （0，$\sqrt{6}$]∪[3，$\frac{3\sqrt{6}}{2}$]

Answer 1

分析 本題需要考慮兩種情況：△PBC在平面α內(nèi)的投影和△ABC在平面α內(nèi)的投影．

解答 ①考慮兩個極端情況：
（i）當△PBC在α內(nèi)時，可求得PB=3$\sqrt{2}$，此時高h=$\sqrt{6}$．
（ii）當△ABC與α垂直時，棱錐的高恰好為等腰直角三角形的高，為h=3，
故此時h∈[$\sqrt{6}$，3]．
②當△PBC與α垂直時，如圖所示
D為BC的中點，AM⊥PD，AN⊥α．
故PA=a，易得AM=DN=3，AN=BN=CN=3$\sqrt{2}$，
故PM=PD-MD=$\sqrt{{a}^{2}-9}$-3$\sqrt{2}$．
在△APM中，由PA²=PM²+AM²，
可解得a²=$\frac{27}{2}$．
所以此時棱錐的高h=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
分析可知，當△ABC的位置固定在此處時，棱錐的高h可以無限小，所以沒有最小值．
因此此時h∈（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]
綜上，h∈（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$]∪[$\sqrt{6}$，3]．
故選B．

點評 本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查點，線，面在平面內(nèi)的投影問題，體現(xiàn)了極限思想的運用，是壓軸題．