Question

13．已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-4|，x∈R
（1）若函數(shù)f（x）為常值函數(shù)，求x的取值范圍；
（2）若不等式a²-2a＜f（x），對(duì)?x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）去絕對(duì)值，化為分段函數(shù)，問(wèn)題得以解決，
（2）由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可知：f（x）=|x+1|+|x-4|≥|（x+1）-（x-4）|=5，再根據(jù)題意得到a²-2a-5＜0，解得即可．

解答 解：（1）依題意得$f（x）=|{x+1}|+|{x-4}|=\left\{{\begin{array}{l}{3-2x，x＜-1}\\{5，-1≤x≤4}\\{2x-3，x＞4}\end{array}}\right.$，
則當(dāng)-1≤x≤4時(shí)，函數(shù)f（x）為常值函數(shù)．  
（2）由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可知：f（x）=|x+1|+|x-4|≥|（x+1）-（x-4）|=5
則a²-2a＜f（x）_min=5，即有a²-2a-5＜0，
解得：$1-\sqrt{6}＜a＜1+\sqrt{6}$，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為$1-\sqrt{6}＜a＜1+\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的應(yīng)用和函數(shù)恒成立的問(wèn)題，屬于中檔題．