Question

18．已知函數(shù)$y={sin^4}x+2\sqrt{3}sinxcosx-{cos^4}x$
（1）求該函數(shù)的最小正周期和取最小值時x的集合；
（2）若x∈[0，π]，求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）運用二倍角公式和兩角差的正弦公式，化簡已知函數(shù)，再由正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)進行解答；
（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{π}{2}$]，列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集，令解集中k=0和1，得到x的范圍，與x∈[0，π]取交集，即可得到該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）$y={sin^4}x+2\sqrt{3}sinxcosx-{cos^4}x$
=（sin⁴x-cos⁴x）+$\sqrt{3}$•（2sinxcosx）
=（sin²x-cos²x）（sin²x+cos²x）+$\sqrt{3}$sin2x
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
所以T=π，函數(shù)取最小值時x的集合為{x|x=kπ-$\frac{π}{6}$（k∈Z）}；…（6分）
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
則kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，…（8分）
令k=0，1，得到x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]或x∈[$\frac{5π}{6}$，$\frac{4π}{3}$]，
與x∈[0，π]取交集，得到x∈[0，$\frac{π}{3}$]或x∈[$\frac{5π}{6}$，π]，
則當x∈[0，π]時，函數(shù)的遞增區(qū)間是x∈[0，$\frac{π}{3}$]或x∈[$\frac{5π}{6}$，π]．…（12分）

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查二倍角公式和兩角差的正弦公式，考查正弦函數(shù)的值域、單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．