Question

【題目】如圖1，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在EF上，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF，如圖2．

（1）當(dāng)AG+GC最小時(shí)，求證：BD⊥CG；
（2）當(dāng)2VB﹣ADGE=VD﹣GBCF時(shí)，求二面角D﹣BG﹣C平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，

∴EF∥BC，又∠ABC=90°，∴AE⊥EF，

∵平面AEFD⊥平面EBCF，

∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，

如圖建立空間坐標(biāo)系E﹣xyz．

翻折前，連結(jié)AC交EF于點(diǎn)G，此時(shí)點(diǎn)G使得AG+GC最小．

EG= BC=2，又∵EA=EB=2．

則A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），

D（0，2，2），E（0，0，0），G（0，2，0），

∴ =（﹣2，2，2）， =（﹣2，﹣2，0）

∴ =（﹣2，2，2）（﹣2，﹣2，0）=0，

∴BD⊥CG．

（2）

解法一：設(shè)EG=k，∵AD∥平面EFCB，

∴點(diǎn)D到平面EFCB的距離為即為點(diǎn)A到平面EFCB的距離．

∵ [（3﹣k）+4]×2=7﹣k，

∴ = ，

又 = ，

∵2VB﹣ADGE=VD﹣GBCF，∴ = ，

∴k=1即EG=1

設(shè)平面DBG的法向量為 ，∵G（0，1，0），

∴ ， =（﹣2，2，2），

則 ，即

取x=1，則y=2，z=﹣1，∴

面BCG的一個(gè)法向量為

則cos＜ ＞=

由于所求二面角D﹣BF﹣C的平面角為銳角，

所以此二面角平面角的余弦值為

解法二：由解法一得EG=1，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥EF，垂足H，

過(guò)點(diǎn)H作BG延長(zhǎng)線的垂線垂足O，連接OD．

∵平面AEFD⊥平面EBCF，

∴DH⊥平面EBCF，∴OD⊥OB，

∴∠DOH就是所求的二面角D﹣BG﹣C的平面角．

由于HG=1，在△OHG中 ，

又DH=2，在△DOH中

∴此二面角平面角的余弦值為 ．

【解析】（1）由已知條件推導(dǎo)出AE⊥EF，AE⊥BE，BE⊥EF，建立空間坐標(biāo)系E﹣xyz，利用向量法能求出BD⊥CG．（2）法一：設(shè)EG=k，由AD∥平面EFCB，得到點(diǎn)D到平面EFCB的距離為即為點(diǎn)A到平面EFCB的距離．分別求出平面DBG的法向量和面BCG的一個(gè)法向量，利用向量法能求出二面角平面角的余弦值．法二：由已知條件指法訓(xùn)練出EG=1，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥EF，垂足H，過(guò)點(diǎn)H作BG延長(zhǎng)線的垂線垂足O，連接OD．由已知條件推導(dǎo)出∠DOH就是所求的二面角D﹣BG﹣C的平面角，由此能求出此二面角平面角的余弦值．
【考點(diǎn)精析】掌握平面與平面垂直的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直．