Question

已知函數(shù)．f（x）=2sinxcosx+sin²x-cos²x．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）將f（x）的圖象向左平移

π

8

個單位長度，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

倍，可得到函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的對稱軸；
（3）若f（-

α

2

）=-

3

3

，α∈（0，π），求cos2α的值．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡函數(shù)解析式可得f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ得f（x）的遞減區(qū)間．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可得g（x）的解析式，由4x=

π

2

+kπ，k∈Z，即可解得g（x）的對稱軸方程．
（3）由已知可得sinα+cosα=

3

3

，可得sin2α=2sinαcosα=-

2

3

．由cos2α=cos²α-sin²α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）＜0，即可求得cos2α的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sinxcosx+sin²x-cos²x=sin2x-cos2x．
即f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），…（2分）
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ得

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ，k∈Z
∴f（x）的遞減區(qū)間為：[

3π

8

+kπ，

7π

8

+kπ]，k∈Z．…（4分）
（2）g（x）=

2

sin4x，…（6分）
由4x=

π

2

+kπ，k∈Z，
∴g（x）的對稱軸方程為x=

π

8

+

kπ

4

，k∈Z            …（8分）
（3）∵f（-

a

2

）=-sinα-cosα=-

3

3

，
∴sinα+cosα=

3

3

，…（10分）
∴sin2α=2sinαcosα=-

2

3

．
∵α∈（0，π），sinαcosα＜0，
∴sinα＞0，cosα＜0，
∴α∈(

π

2

，π)，cosα-sinα＜0，
∵cos2α=cos²α-sin²α=（cosα+sinα）（cosα-sinα）＜0，
∴cos2α=-

1-(- 2 3 )2

=-

5

3

．                  …（13分）

點評：本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基本知識的考查．