Question

2．已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)C在圓x²+y²=1上，當(dāng)△ABC的面積最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{{3\sqrt{13}}}{13}$，$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$）．

Answer 1

分析 設(shè)C（a，b）．根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求得直線AB方程，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離和不等式的性質(zhì)得到a、b的數(shù)量關(guān)系，將其代入圓的方程即可求得a、b的值，即點(diǎn)C的坐標(biāo)．

解答 解：設(shè)C（a，b）．則a²+b²=1，①
∵點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，3），
∴直線AB的解析式為：3x+2y-6=0．
如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，欲使△ABC的面積最小，只需線段CF最短．
則CF=$\frac{|2a+3b-6|}{\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}}$≥$\frac{\sqrt{13}×|\sqrt{2a•3b}-6|}{13}$，當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b時(shí)，取“=”，
∴a=$\frac{3b}{2}$，②
聯(lián)立①②求得：a=$\frac{{3\sqrt{13}}}{13}$，b=$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$，
故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{{3\sqrt{13}}}{13}$，$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$）．
故答案是：（$\frac{{3\sqrt{13}}}{13}$，$\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．