Question

9．已知cos（${\frac{π}{4}$+θ）=-$\frac{3}{5}$，$\frac{11π}{12}$＜θ＜$\frac{5π}{4}$，求$\frac{{sin2θ+2{{sin}^2}θ}}{1-tanθ}$的值．

Answer 1

分析 求出sin（${\frac{π}{4}$+θ），從而sinθ+cosθ的值，由cos（${\frac{π}{4}$+θ），得cosθ-sinθ的值，由此得到正弦函數(shù)與余弦函數(shù)點值，進而能求出$\frac{{sin2θ+2{{sin}^2}θ}}{1-tanθ}$的值．

解答 解：∵$\frac{11π}{12}$＜θ＜$\frac{5π}{4}$，∴${\frac{π}{4}$+θ∈（$\frac{7}{6}π$，$\frac{3π}{2}$），
∵cos（${\frac{π}{4}$+θ）=-$\frac{3}{5}$，∴sin（${\frac{π}{4}$+θ）=-$\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}$=-$\frac{4}{5}$，
∴sin（${\frac{π}{4}$+θ）=sinθcos$\frac{π}{4}$+cosθsin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosθ+sinθ）=-$\frac{4}{5}$，
∴sinθ+cosθ=-$\frac{4\sqrt{2}}{5}$，①
cos（${\frac{π}{4}$+θ）=cos$\frac{π}{4}$cosθ-sin$\frac{π}{4}$sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosθ-cosβ）=-$\frac{3}{5}$，
∴cosθ-sinθ=-$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，②
聯(lián)立①②，得cosθ=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，sinθ=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴$\frac{{sin2θ+2{{sin}^2}θ}}{1-tanθ}$=$\frac{2sinθ（sinθ+cosθ）}{1-\frac{sinθ}{cosθ}}$=$\frac{2sinθcosθ（sinθ+cosθ）}{cosθ-sinθ}$
=$\frac{2×（-\frac{\sqrt{2}}{10}）（-\frac{7\sqrt{2}}{10}）（-\frac{4\sqrt{2}}{5}）}{-\frac{3\sqrt{2}}{5}}$=$\frac{28}{75}$．

點評 本題考查函數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意三角函數(shù)誘導公式、加法定理和同角三角函數(shù)關系式的合理運用．