Question

17．在邊長為1的正三角形ABC中，已知$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow b$，點E線段AB的中點，點F線段BC上，$\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$．
（1）以$\overrightarrow a，\overrightarrow b$為基底表示$\overrightarrow{AF}，\overrightarrow{CE}$；
（2）求$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CE}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的基本定理進行化簡即可，
（2）根據(jù)向量數(shù)量積的應(yīng)用進行化簡即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$；
$\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CB}$）=$-\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$=-$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$；
即$\overrightarrow{AF}=\frac{2}{3}\overrightarrow a+\frac{1}{3}\overrightarrow b，\overrightarrow{CE}=-\overrightarrow a+\frac{1}{2}\overrightarrow b$；
（2）$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CE}$=（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$）•（-$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow$）=-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$²+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow$²=-$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{6}$=-$\frac{1}{2}$，
即$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{CE}=-\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查平面向量的基本定理的應(yīng)用以及向量數(shù)量積的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．