Question

20．f（x）=cos（$\frac{π}{2}$-x）•cosx+$\sqrt{3}{sin^2}$x的最小正周期為π，單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z．

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式為f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用周期公式可求最小正周期，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，即可解得單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：∵f（x）=cos（$\frac{π}{2}$-x）•cosx+$\sqrt{3}{sin^2}$x
=sinx•cosx+$\frac{\sqrt{3}（1-cos2x）}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
∴由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，k∈Z，可得其單調(diào)遞減區(qū)間為：[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z．
故答案為：π，[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，考查了三角函數(shù)周期性及其求法，考查了正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題．