Question

7．已知cosα=$\frac{3}{5}$，cos（α+β）=-$\frac{12}{13}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），α+β∈（$\frac{π}{2}$，π），則cosβ=-$\frac{16}{65}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式先求sinα，sin（α+β）的值，根據(jù)兩角和與差的余弦函數(shù)公式可求cosβ，從而確定其值．

解答 解：∵cosα=$\frac{3}{5}$，α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinα=$\frac{4}{5}$，
∵α+β∈（$\frac{π}{2}$，π），cos（α+β）=-$\frac{12}{13}$，
∴sin（α+β）═$\sqrt{1-co{s}^{2}（α+β）}$=$\frac{5}{13}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=（-$\frac{12}{13}$）×$\frac{3}{5}$+$\frac{5}{13}$×$\frac{4}{5}$=-$\frac{16}{65}$．
故答案為：-$\frac{16}{65}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．