Question

17．已知：$A_n^4=40C_n^5$，設(shè)$f（x）={（x-\frac{1}{{\root{3}{x}}}）^n}$．
（1）求n的值；
（2）寫出f（x）的展開式中所有的有理項(xiàng)；
（3）求f（x）的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù) $A_n^4=40C_n^5$，利用排列、組合數(shù)公式求得n的值．
（2）利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求得f（x）的展開式中所有的有理項(xiàng)．
（3）利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)以及展開式的通項(xiàng)公式，求得f（x）的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答 解：（1）∵$A_n^4=40C_n^5$，∴n（n-1）（n-2）（n-3）=40•$\frac{n（n-1）（n-2）（n-3）（n-4）}{5!}$，n=7．
（2）設(shè)$f（x）={（x-\frac{1}{{\root{3}{x}}}）^n}$=${（x{-x}^{-\frac{1}{3}}）}^{7}$，則它的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{7}^{r}$•（-1）^r•${x}^{7-\frac{4r}{3}}$，
令7-$\frac{4r}{3}$為整數(shù)，可得r=0，3，6，
故f（x）的展開式中所有的有理項(xiàng)為T₁=${C}_{7}^{0}$•x⁷，T₄=-${C}_{7}^{3}$•x³，T₇=${C}_{7}^{6}$•x^-1．
（3）求f（x）的展開式的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{7}^{r}$•（-1）^r•${x}^{7-\frac{4r}{3}}$，則該項(xiàng)的系數(shù)為（-1）^r•${C}_{7}^{r}$，
再根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)r=4時(shí)，系數(shù)最大為${C}_{7}^{4}$=35．

點(diǎn)評 本題主要考查排列、組合數(shù)公式的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．