16.如圖,某生態(tài)園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園,種植桃樹,已知角A為120°.現(xiàn)在邊界AP,AQ處建圍墻,PQ處圍柵欄.
(1)若∠APQ=15°,AP與AQ兩處圍墻長度和為100($\sqrt{3}$+1)米,求柵欄PQ的長;
(2)已知AB,AC的長度均大于200米,若水果園APQ面積為2500$\sqrt{3}$平方米,問AP,AQ長各為多少時,可使三角形APQ周長最?

分析 (1)依題意,∠AQP=45°,由正弦定理:$\frac{AP}{{sin{{45}°}}}=\frac{AQ}{{sin{{15}°}}}=\frac{PQ}{{sin{{120}°}}}$,可得$\frac{AP+AQ}{{sin{{45}°}+sin{{15}°}}}=\frac{PQ}{{sin{{120}°}}}$利用特殊角的三角函數(shù)值即可計算得解PQ的值.
(2)設AP=x米,AQ=y米,利用三角形面積公式可求xy=10000,進而可求$x+y≥2\sqrt{xy}=200$,設△ABC的周長為L,則L=$x+y+\sqrt{{x^2}+{y^2}+xy}$=$x+y+\sqrt{{{(x+y)}^2}-10000}$,令x+y=t,L=$t+\sqrt{{t^2}-10000}$在定義域上單調增,利用二次函數(shù)的圖象和性質即可得解.

解答 (本題滿分為16分)
解:(1)∵依題意,∠AQP=45°,由正弦定理:$\frac{AP}{{sin{{45}°}}}=\frac{AQ}{{sin{{15}°}}}=\frac{PQ}{{sin{{120}°}}}$,…(2分)
∴得$\frac{AP+AQ}{{sin{{45}°}+sin{{15}°}}}=\frac{PQ}{{sin{{120}°}}}$,…(3分)
∵$sin{15°}=sin({45°}-{30°})=sin{45°}cos{30°}-cos{45°}sin{30°}=\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$,…(5分)
∴$\frac{AP+AQ}{{sin{{45}°}+sin{{15}°}}}=\frac{PQ}{{sin{{120}°}}}=\frac{{100(\sqrt{3}+1)}}{{\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}}}$$⇒PQ=100\sqrt{6}$…(7分)
(2)設AP=x米,AQ=y米.
則$S=\frac{1}{2}xysin{120°}=2500\sqrt{3}$⇒xy=10000,…(9分)
$x+y≥2\sqrt{xy}=200$,…(11分)
設△ABC的周長為L,則L=$x+y+\sqrt{{x^2}+{y^2}+xy}$=$x+y+\sqrt{{{(x+y)}^2}-10000}$,…(12分)
令x+y=t,L=$t+\sqrt{{t^2}-10000}$在定義域上單調增,
所以${L_{min}}=200+100\sqrt{3}$,當x=y=100取等號;…(15分)
答:(1)$PQ=100\sqrt{6}$米;
(2)當AP=AQ=100米時,三角形地塊APQ的周長最。16分)

點評 本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題,考查三角形面積的計算,余弦定理,二次函數(shù)的圖象和性質的運用,屬于中檔題.

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