Question

16．如圖，某生態(tài)園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園，種植桃樹，已知角A為120°．現(xiàn)在邊界AP，AQ處建圍墻，PQ處圍柵欄．
（1）若∠APQ=15°，AP與AQ兩處圍墻長度和為100（$\sqrt{3}$+1）米，求柵欄PQ的長；
（2）已知AB，AC的長度均大于200米，若水果園APQ面積為2500$\sqrt{3}$平方米，問AP，AQ長各為多少時，可使三角形APQ周長最��？

Answer 1

分析 （1）依題意，∠AQP=45°，由正弦定理：$\frac{AP}{{sin{{45}°}}}=\frac{AQ}{{sin{{15}°}}}=\frac{PQ}{{sin{{120}°}}}$，可得$\frac{AP+AQ}{{sin{{45}°}+sin{{15}°}}}=\frac{PQ}{{sin{{120}°}}}$利用特殊角的三角函數(shù)值即可計(jì)算得解PQ的值．
（2）設(shè)AP=x米，AQ=y米，利用三角形面積公式可求xy=10000，進(jìn)而可求$x+y≥2\sqrt{xy}=200$，設(shè)△ABC的周長為L，則L=$x+y+\sqrt{{x^2}+{y^2}+xy}$=$x+y+\sqrt{{{（x+y）}^2}-10000}$，令x+y=t，L=$t+\sqrt{{t^2}-10000}$在定義域上單調(diào)增，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 （本題滿分為16分）
解：（1）∵依題意，∠AQP=45°，由正弦定理：$\frac{AP}{{sin{{45}°}}}=\frac{AQ}{{sin{{15}°}}}=\frac{PQ}{{sin{{120}°}}}$，…（2分）
∴得$\frac{AP+AQ}{{sin{{45}°}+sin{{15}°}}}=\frac{PQ}{{sin{{120}°}}}$，…（3分）
∵$sin{15°}=sin（{45°}-{30°}）=sin{45°}cos{30°}-cos{45°}sin{30°}=\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$，…（5分）
∴$\frac{AP+AQ}{{sin{{45}°}+sin{{15}°}}}=\frac{PQ}{{sin{{120}°}}}=\frac{{100（\sqrt{3}+1）}}{{\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}}}$$⇒PQ=100\sqrt{6}$…（7分）
（2）設(shè)AP=x米，AQ=y米．
則$S=\frac{1}{2}xysin{120°}=2500\sqrt{3}$⇒xy=10000，…（9分）
$x+y≥2\sqrt{xy}=200$，…（11分）
設(shè)△ABC的周長為L，則L=$x+y+\sqrt{{x^2}+{y^2}+xy}$=$x+y+\sqrt{{{（x+y）}^2}-10000}$，…（12分）
令x+y=t，L=$t+\sqrt{{t^2}-10000}$在定義域上單調(diào)增，
所以${L_{min}}=200+100\sqrt{3}$，當(dāng)x=y=100取等號；…（15分）
答：（1）$PQ=100\sqrt{6}$米；
（2）當(dāng)AP=AQ=100米時，三角形地塊APQ的周長最�。�…（16分）

點(diǎn)評 本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查三角形面積的計(jì)算，余弦定理，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，屬于中檔題．