Question

4．某大型企業(yè)招聘會(huì)的現(xiàn)場，所有應(yīng)聘者的初次面試都由張、王、李三位專家投票決定是否進(jìn)入下一輪測試，張、王、李三位專家都有“通過”、“待定”、“淘汰”三類票各一張，每個(gè)應(yīng)聘者面試時(shí)，張、王、李三位專家必須且只能投一張票，每人投三類票中的任意一類的概率均為$\frac{1}{3}$，且三人投票相互沒有影響，若投票結(jié)果中至少有兩張“通過”票，則該應(yīng)聘者初次面試獲得“通過”，否則該應(yīng)聘者不能獲得“通過”．
（1）求應(yīng)聘者甲的投票結(jié)果獲得“通過”的概率；
（2）記應(yīng)聘者乙的投票結(jié)果所含“通過”和“待定”票的票數(shù)之和為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）應(yīng)聘者甲的投票結(jié)果獲得“通過”為事件A，則事件A包含甲獲2張“通過”票或甲獲3張“通過”票，張、王、李三位專家必須且只能投一張票，每人投三類票中的任意一類票的概率為$\frac{1}{3}$，且三人投票相互沒有影響，由此能求出應(yīng)聘者甲最終獲“通過”的概率．
（2）應(yīng)聘者乙所獲“通過”和“待定”票的票數(shù)之和X的所有數(shù)值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）應(yīng)聘者甲的投票結(jié)果獲得“通過”為事件A，
則事件A包含甲獲2張“通過”票或甲獲3張“通過”票，
∵張、王、李三位專家必須且只能投一張票，每人投三類票中的任意一類票的概率為$\frac{1}{3}$，
且三人投票相互沒有影響，
∴應(yīng)聘者甲最終獲“通過”的概率為：
P（A）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）+{C}_{3}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{7}{27}$．
（2）應(yīng)聘者乙所獲“通過”和“待定”票的票數(shù)之和X的所有數(shù)值為0，1，2，3，
則P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{1}{27}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{6}{27}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）=\frac{12}{27}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$

∴EX=$0×\frac{1}{27}+1×\frac{2}{9}+2×\frac{4}{9}+3×\frac{8}{27}$=2．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．