Question

12．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，
（1）A₁B與B₁D₁所成的角；
（2）CC₁與BD₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接BD、A₁D，則DBB₁D₁為平行四邊形，∠A₁BD即為異面直線A₁B與B₁D₁所成的角，由此能求出A₁B與B₁D₁所成的角的大�。�
（2）由B₁B∥CC₁，得BB₁與BD₁所成的角∠B₁BD₁就是CC₁和BD₁所成的角，由此能求出CC₁與BD₁所成角的正弦值．

解答 解：（1）如圖，連接BD、A₁D，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴DD₁∥BB₁．
∴DBB₁D₁為平行四邊形．
∴BD∥B₁D₁…（2分）
∴∠A₁BD即為異面直線A₁B與B₁D₁所成的角…（3分）
∵A₁B=BD=A₁D，
∴△A₁BD是正三角形…（4分）
∴∠A₁BD=60°．
∴A₁B與B₁D₁所成的角為60°．…（6分）
（2）∵B₁B∥CC₁，
則BB₁與BD₁所成的角∠B₁BD₁就是CC₁和BD₁所成的角…（7分）
在Rt△BB₁D₁中，
sin∠B₁BD₁=$\frac{{B}_{1}{D}_{1}}{B{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，…（11分）
∴CC₁與BD₁所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．…（12分）．

點評 本題考查異面直線所成角的大小及正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．