4．點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球的球面上，$AB=BC=2，AC=2\sqrt{2}$，若四面體ABCD體積的最大值為$\frac{4}{3}$，則該球的表面積為9π．

分析 根據(jù)三棱錐的特征，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積．

解答 解：根據(jù)題意知，△ABC是一個(gè)直角三角形，其面積為2．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點(diǎn)上，設(shè)小圓的圓心為Q，
四面體ABCD的體積的最大值，由于底面積S△ABC不變，高最大時(shí)體積最大，
所以，DQ與面ABC垂直時(shí)體積最大，最大值為$\frac{1}{2}$×S△ABC×DQ=$\frac{4}{3}$，
S△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BQ=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2．，∴DQ=2，如圖．
設(shè)球心為O，半徑為R，則在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=（$\sqrt{2}$）2+（2-R）2，∴R=$\frac{3}{2}$，
則這個(gè)球的表面積為：S=4π（$\frac{3}{2}$）2=9π；
故答案為：9π

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時(shí)四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關(guān)鍵．屬于中檔題．

練習(xí)冊系列答案
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14．已知函數(shù)$f（x）=sinxcos（{x+\frac{π}{6}}）+1$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值時(shí)的x的集合；
（Ⅱ）△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊，$f（C）=\frac{5}{4}，b=2，\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=12$，求邊長c的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

15．已知向量$\vec a$與$\vec b$的夾角為$\frac{2π}{3}$，$|\vec a|=\sqrt{2}$，則$\vec a$在$\vec b$方向上的投影為$-\frac{\sqrt{2}}{2}$．

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12．為了分析某個(gè)高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議．現(xiàn)對他前7次考試的數(shù)學(xué)成績x、物理成績y進(jìn)行分析．下面是該生7次考試的成績．
數(shù)學(xué)108103137112128120132
物理74718876848186
（Ⅰ）他的數(shù)學(xué)成績與物理成績哪個(gè)更穩(wěn)定？請給出你的說明；
（Ⅱ）已知該生的物理成績y與數(shù)學(xué)成績x是線性相關(guān)的，求物理成績y與數(shù)學(xué)成績x的回歸直線方程
（Ⅲ）若該生的物理成績達(dá)到90分，請你估計(jì)他的數(shù)學(xué)成績大約是多少？
（附：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

19．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$過點(diǎn)（3，2），當(dāng)a2+b2取得最小值時(shí)，橢圓的離心率為（　�。�
A．$\frac{1}{2}$B．$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$C．$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$D．$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．已知函數(shù)g（x）=ex（x+1）．
（1）求函數(shù)g（x）在（0，1）處的切線方程；
（2）設(shè)x＞0，討論函數(shù)h（x）=g（x）-a（x3+x2）（a＞0）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

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16．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{（a+3）^{2}}$=1（a＞0）的一條漸近線方程為y=2x，則a=3．

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13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系．
（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）若直線l的極坐標(biāo)方程是$2ρsin（{θ+\frac{π}{3}}）=3\sqrt{3}$，射線$OM：θ=\frac{π}{3}$與圓C的交點(diǎn)為O、P，與直線l的交點(diǎn)為Q．求線段PQ的長．

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