Question

9．已知函數(shù)g（x）=e^x（x+1）．
（1）求函數(shù)g（x）在（0，1）處的切線方程；
（2）設(shè)x＞0，討論函數(shù)h（x）=g（x）-a（x³+x²）（a＞0）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，即可求函數(shù)g（x）在（0，1）處的切線方程；
（2）h（x）=g（x）-a（x³+x²）=0，可得a=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的極小值，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）g′（x）=e^x（x+2），g′（0）=2，
∴函數(shù)g（x）在（0，1）處的切線方程為y-1=2x，即l：y=2x+1（4分）
（2）h（x）=g（x）-a（x³+x²）=0，可得a=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
設(shè)y=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，則y′=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{x}^{3}}$，函數(shù)在（0，2）上單調(diào)遞減，（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=2函數(shù)取得極小值$\frac{{e}^{2}}{4}$，
∴$a=\frac{e^2}{4}$，零點(diǎn)1個(gè)；  $a＞\frac{e^2}{4}$，零點(diǎn)2個(gè)；$0＜a＜\frac{e^2}{4}$，零點(diǎn)0個(gè)  （8分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．