Question

12．為了分析某個高三學生的學習狀態(tài)，對其下一階段的學習提供指導性建議．現對他前7次考試的數學成績x、物理成績y進行分析．下面是該生7次考試的成績．

數學	108	103	137	112	128	120	132
物理	74	71	88	76	84	81	86

（Ⅰ）他的數學成績與物理成績哪個更穩(wěn)定？請給出你的說明；
（Ⅱ）已知該生的物理成績y與數學成績x是線性相關的，求物理成績y與數學成績x的回歸直線方程
（Ⅲ）若該生的物理成績達到90分，請你估計他的數學成績大約是多少？
（附：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）做出物理和數學成績的平均數，進而做出兩門成績的方差，把兩個方差進行比較，得到物理的方差小于數學的方差，所以物理成績更穩(wěn)定．
（Ⅱ）根據上一問做出的平均數，利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數，把樣本中心點代入求出a的值，寫出線性回歸方程；
（Ⅲ）把所給的物理的成績代入預報出數學的成績．

解答 解：（Ⅰ）$\overline{x}$=120，$\overline{y}$=80，
∴數學的方差是$\frac{1}{7}$（144+289+289+64+64+144）=142，
物理的方差是$\frac{1}{7}$（36+81+64+16+16+1+36）=$\frac{250}{7}$，
從而物理的方差小于數學的方差，所以物理成績更穩(wěn)定．                            
（Ⅱ）由于x與y之間具有線性相關關系，
∴$\widehat$=$\frac{497}{994}$=0.5，$\widehat{a}$=80-0.5×120=20
∴線性回歸方程為y=0.5x+20
（Ⅲ）當y=90時，x=140
即該生物理是90分時，數學成績是140．

點評 本題考查線性回歸方程的求法和應用，考查判斷兩組數據的穩(wěn)定性的方法，本題解題的關鍵是正確運算出結果．