Question

已知四面體A-BCD，AB=4，CD=2，AB與CD之間的距離為3，則四面體ABCD體積的最大值為

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   4
4. D.
   8

Answer 1

C
分析：作BE平行CD，且BE=CD，連接CE，AE，四面體ABCD的體積=四面體ADBE的體積，由AB與CD之間的距離為3，知四面體ADBE以△ABE為底時的高h=3，要使四面體ADBE體積最大，則△ABE面積要最大，當∠ABE=90°時，△ABE的面積取最大值S=4．由此能求出四面體ABCD體積的最大值．
解答：如圖，作BE平行CD，且BE=CD，連接CE，AE，
∵BE∥CD，且BE=CD，
∴BECD是平行四邊形，
∴A-BDE與A-BCD等底同高，
∴四面體ABCD的體積=四面體ADBE的體積，
∵BE∥CD，
∴AB與CD的公垂線一定垂直面ABE，
∵AB與CD之間的距離為3，
∴四面體ADBE以△ABE為底時的高h=3，
要使四面體ADBE體積最大，則△ABE面積要最大，
∵
=
=4sin∠ABE．
∴當∠ABE=90°時，△ABE的面積取最大值S=4．
∴四面體ABCD體積的最大值=四面體ADBE體積最大值==．
故選C．
點評：本題主要考查了棱錐的體積的最大值的求法，注意合理地應用等價轉(zhuǎn)化，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．