Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{m}{x}$，m∈R
（1）當(dāng)m=e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）時(shí)，f（x）的極小值；
（2）若函數(shù)g（x）=f′（x）-$\frac{x}{3}$存在唯一零點(diǎn)，求m的范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出f（x）的極小值即可；
（2）令g（x）=0，得m=-$\frac{1}{3}$x³+x（x＞0），設(shè)φ（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x（x≥0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性畫出函數(shù)φ（x）的草圖，求出m的范圍即可．

解答 解�。�1）由題設(shè)，當(dāng)m=e時(shí)，f（x）=ln x+$\frac{e}{x}$，
則f′（x）=$\frac{x-e}{x2}$，由f′（x）=0，得x=e．
∴當(dāng)x∈（0，e），f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（e，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=e時(shí)，f（x）取得極小值f（e）=ln e+$\frac{e}{e}$=2，
∴f（x）的極小值為2…（4分）
（2）由題設(shè)g（x）=f′（x）-$\frac{x}{3}$=$\frac{1}{x}$-$\frac{m}{x2}$-$\frac{x}{3}$（x＞0），
令g（x）=0，得m=-$\frac{1}{3}$x³+x（x＞0）．
設(shè)φ（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x（x≥0），
則φ′=-x²+1=-（x-1）（x+1），
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴x=1是φ（x）的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，因此x=1也是φ（x）的最大值點(diǎn)．
∴φ（x）的最大值為φ（1）=$\frac{2}{3}$．
又φ（0）=0，結(jié)合y=φ（x）的圖象（如圖），

可知
當(dāng)m=$\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)m≤0時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)．
所以，當(dāng)m=$\frac{2}{3}$或m≤0時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；…（12分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．