17.如圖,橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左焦點為F1(-1,0),離心率是e,點(1,e)在橢圓上.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)點M(2,0),過點F1的直線交C于A,B兩點,直線MA,MB與直線x=-2分別交于P,Q兩點,求△MPQ面積的最大值.

分析 (Ⅰ)由題意列關(guān)于a,b,c的方程組,求解方程組得到a,b,c的值,則橢圓方程可求;
(Ⅱ)設(shè)出過點F1 的直線AB為x=my-1,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,化為關(guān)于y的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系求出P,Q的縱坐標,代入三角形面積公式,利用基本不等式求最值.

解答 解:(Ⅰ)由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{{e}^{2}}{^{2}}=1}\\{e=\frac{1}{a}}\\{^{2}={a}^{2}-1}\end{array}\right.$,解得a2=2,b2=1,
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$;
(Ⅱ)設(shè)過點F1 的直線AB為x=my-1,代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$,
得(m2+2)y2-2my-1=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{2m}{{m}^{2}+2},{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-1}{{m}^{2}+2}$,
由M,A,P三點共線,得${y}_{P}=\frac{-4{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$,同理${y}_{Q}=\frac{-4{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$,
則△MPQ的面積$S=\frac{1}{2}•4|{y}_{P}-{y}_{Q}|=24|\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-3m({y}_{1}+{y}_{2})+9}|$
=$24\sqrt{2}\frac{\sqrt{{m}^{2}+1}}{{m}^{2}+9}=\frac{24\sqrt{2}}{\sqrt{{m}^{2}+1}+\frac{8}{\sqrt{{m}^{2}+1}}}$≤6.
故當m2=7時,△MPQ面積的最大值為6.

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查橢圓標準方程的求法,訓練了三角形面積的求法,是中檔題.

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