Question

7．如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為2的正方形，E，F(xiàn)分別為線段DD₁，BD的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的表面積為16π，求異面直線EF與BC所成的角的大�。�

Answer 1

分析 （1）連接BD₁，由中位線定理證明EF∥D₁B，由線面平行的判定定理證明EF∥平面ABC₁D₁；
（2）由（1）和異面直線所成角的定義，得異面直線EF與BC所成的角是∠D₁BC，由題意和球的表面積公式求出外接球的半徑，由勾股定理求出側(cè)棱AA₁的長，由直四棱柱的結(jié)構(gòu)特征和線面垂直的定義，判斷出BC⊥CD₁，在RT△CC₁D₁中求出tan∠D₁BC，求出∠D₁BC可得答案．

解答 解：（1）連接BD₁，在△DD₁B中，E、F分別為線段DD₁、BD的中點(diǎn)，
∴EF為中位線，∴EF∥D₁B，
∵D₁B?面ABC₁D₁，EF?面ABC₁D₁，
∴EF∥平面ABC₁D₁；
（2）由（1）知EF∥D₁B，故∠D₁BC即為異面直線EF與BC所成的角，
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的表面積為16π，
∴四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球的半徑R=2，
設(shè)AA₁=a，則$\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}+4+4}=2$，解得a=$2\sqrt{2}$，
在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵BC⊥平面CDD₁C₁，CD₁?平面CD-D₁C₁，
∴BC⊥CD₁，在RT△CC₁D₁中，BC=2，CD₁=$2\sqrt{3}$，D₁C⊥BC，
∴tan∠D₁BC=$\frac{{D}_{1}C}{BC}=\sqrt{3}$，則∠D₁BC=60°，
∴異面直線EF與BC所成的角為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了異面直線所成角的定義以及求法，線面平行的判定定理，球的表面積公式，以及直四棱柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題．