Question

17．如圖所示，A為圓O外一點(diǎn)，AO與圓交于B，C兩點(diǎn)，AB=4，AD為圓O的切線，D為切點(diǎn)，AD=8，∠BDC的角平分線與BC和圓O分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．
（1）求證：$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AD}{AC}$；
（2）求DE•DF的值．

Answer 1

分析 （1）由弦切角定理推導(dǎo)出△ABD∽△ADC，由此能證明$\frac{BD}{CD}$=$\frac{AD}{AC}$；
（2）由切割線定理得AD²=AB•AC，證明△DBE∽△DFC，由此能求出DE•DF的值．

解答 （1）證明：∵AD為圓O的切線，∴∠ADB=∠DCA．…（2分）
又∠A為公共角，∴△ABD∽△ADC，…（4分）∴$\frac{BD}{CD}=\frac{AD}{AC}$．…（5分）
（2）解：∵AD是圓O的切線，AC是過圓心的割線，
∴AD²=AB•AC，∴AC=16，則BC=12．…（6分）
又∵∠BDC是直角，∴BD²+CD²=BC²=144，
再由（Ⅰ），$\frac{BD}{CD}=\frac{AD}{AC}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$，∴$BD=\frac{12}{5}\sqrt{5}$，$CD=\frac{24}{5}\sqrt{5}$．…（7分）
連接BF，CF，∵∠BDF=∠CDF，∠DBE=∠DFC，
∴△DBE∽△DFC，∴$\frac{BD}{DF}=\frac{DE}{CD}$，…（9分）
∴$DE\;•\;DF=BD\;•\;CD=\frac{12}{5}\sqrt{5}×\frac{24}{5}\sqrt{5}=\frac{288}{5}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩組線段比值相等的證明，考查兩線段乘積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意弦切角定理和切割線定理的合理運(yùn)用．