Question

7．設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{{{e^x}-1}}{x}$，
（1）求f（x）在x=1處的切線方程；
（2）證明：對(duì)任意a＞0，當(dāng)0＜|x|＜ln（1+a）時(shí)，|f（x）-1|＜a．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，確定切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，即可求f（x）在x=1處的切線方程；
（2）$|{f（x）-1}|=|{\frac{{{e^x}-1-x}}{x}}|=\frac{{|{{e^x}-1-x}|}}{|x|}$，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{{{e^x}x-（{{e^x}-1}）}}{x^2}$，f'（1）=1，f（1）=e-1，
∴f（x）在x=1處的切線方程為y-e+1=x-1，即x-y+e-2=0
（2）證明：$|{f（x）-1}|=|{\frac{{{e^x}-1-x}}{x}}|=\frac{{|{{e^x}-1-x}|}}{|x|}$，
設(shè)ϕ（x）=e^x-1-x，ϕ'（x）=e^x-1，ϕ'（x）＞0?x＞0，
故ϕ'（x）在（-∞，0）內(nèi)遞減，在（0，+∞）內(nèi)遞增，
∴ϕ（x）≥ϕ（0）=0即e^x-1-x≥0，
當(dāng)0＜|x|＜ln（1+a）時(shí)，|f（x）-1|＜a?（e^x-1-x）＜a|x|，
即當(dāng)0＜x＜ln（1+a）時(shí)，e^x-1-（1+a）x＜0，（Ⅰ）
當(dāng)-ln（1+a）＜x＜0時(shí)，e^x-1-（1-a）x＜0，（Ⅱ）
令函數(shù)g（x）=e^x-1-（1+a）x，h（x）=e^x-1-（1-a）x
注意到g（0）=h（0）=0，故要證（Ⅰ），（Ⅱ），
只需要證g（x）在（0，ln（1+a））內(nèi)遞減，h（x）在（-ln（1+a），0）遞增
當(dāng)0＜x＜ln（1+a）時(shí)，g'（x）=e^x-（1+a）＜e^ln（1+a）-（1+a）=0
當(dāng)-ln（1+a）＜x＜0時(shí)，$h（x）={e^x}-（{1-a}）＞{e^{-ln（{1+a}）}}-（{1-a}）=\frac{a^2}{1+a}＞0$
綜上，對(duì)任意a＞0，當(dāng)0＜|x|＜ln（1+a）時(shí)，|f（x）-1|＜a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．