Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2（其中a＞0）
（1）若函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線的傾斜角為45°，求實數(shù)a的取值．
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²-6ax，由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出a的值．
（2）由f′（x）=3x²-6ax=0，得x=0或x=2a，由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³-3ax²+2（其中a＞0），
∴f′（x）=3x²-6ax，
∵函數(shù)f（x）在點（1，f（1））處的切線的傾斜角為45°，
∴f′（1）=3-6a=tan45°=1，
解得a=

1

3

．
（2）由f′（x）=3x²-6ax=0，得x=0或x=2a，
①當a≥1時，
∵f（0）=2，f（2）=10-12a，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值為10-12a．
②0＜a＜1時，
∵f（0）=2，f（2）=10-12a，f（2a）=2-4a³，
f（2）-f（2a）=10-12a-2+4a³=4a³-12a+8＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值為2-4a³．
綜上所述，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值f（x）_min=

10-12a，a≥1 2-4a3，0＜a＜1

．

點評：本題考查實數(shù)值的求法，考查函數(shù)的在閉區(qū)間上的最小值的求法，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．