Question

2．求橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1到點A（1，0）的距離為最小的點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 可設(shè)出P（2cosα，sinα），（0≤α＜2π），求出|PA|，化簡整理成關(guān)于cosα的式子，并配方，再由余弦函數(shù)的值域，結(jié)合二次函數(shù)的頂點，即可得到最值．

解答 解：由于P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上一動點，
可設(shè)P（2cosα，sinα），（0≤α＜2π），
則|PA|=$\sqrt{（2cosα-1）^{2}+si{n}^{2}α}$=$\sqrt{4co{s}^{2}α+si{n}^{2}α-4cosα+1}$
=$\sqrt{3co{s}^{2}α-4cosα+2}$
=$\sqrt{3（cosα-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{2}{3}}$，
由于cosα∈[-1，1]，
則當(dāng)cosα=$\frac{2}{3}$∈[-1，1]，此時sinα=±$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
即P（$\frac{4}{3}$，-$\frac{\sqrt{5}}{3}$）或（$\frac{4}{3}$，-$\frac{\sqrt{5}}{3}$）時，
|PA|取最小值，且為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查橢圓方程，主要是運用參數(shù)方程解題，考查三角函數(shù)的化簡和正弦函數(shù)的值域，考查運算能力，屬于中檔題．