Question

12．定義點(diǎn)P（x₀，y₀）到直線l：ax+by+c=0（a²+b²≠0）的有向距離為：$d=\frac{{a{x_0}+b{y_0}+c}}{{\sqrt{{a^2}+{b^2}}}}$．已知點(diǎn)P₁、P₂到直線l的有向距離分別是d₁、d₂．以下命題正確的是（　�。�

• A． 若d₁=d₂=1，則直線P₁P₂與直線l平行
• B． 若d₁=1，d₂=-1，則直線P₁P₂與直線l垂直
• C． 若d₁+d₂=0，則直線P₁P₂與直線l垂直
• D． 若d₁•d₂≤0，則直線P₁P₂與直線l相交

Answer 1

分析 根據(jù)有向距離的定義，及點(diǎn)P（x₀，y₀）與ax₁+by₁+c的符號(hào)，分別對(duì)直線P₁P₂與直線l的位置關(guān)系進(jìn)行判斷．

解答 解：對(duì)于A，若d₁=d₂=1，則ax₁+by₁+c=ax₂+by₂+c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，直線P₁P₂與直線l平行，∴正確．
對(duì)于B，點(diǎn)P₁、P₂在直線l的兩側(cè)且到直線l的距離相等，∴錯(cuò)誤．
對(duì)于C，由A知，若d₁=d₂=0時(shí)，滿足d₁+d₂=0，但此時(shí)ax₁+by₁+c=ax₂+by₂+c=0，
則點(diǎn)P₁，P₂都在直線l，∴此時(shí)直線P₁P₂與直線l重合，∴C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若d₁•d₂≤0，即（ax₁+by₁+c）（ax₂+by₂+c）≤0，
∴點(diǎn)P₁，P₂分別位于直線l的兩側(cè)或直線上，∴直線P₁P₂與直線l相交或重合，∴不正確．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與直線距離有關(guān)的命題的判斷，利用條件推出點(diǎn)與直線的位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，屬于難題．