Question

已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=m（x²-4x+lnx）-（2m²+1）x+2lnx，其中，m∈R，函數(shù)f（x）在（1，0）處的切線斜率為0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k²-2k無公共點(diǎn)，求k的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)f（x）在（1，0）處的切線斜率為0，即有f′（1）=0，f（1）=0，列方程可得m=-1，即可得到f（x）的解析式；
（2）求f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，進(jìn)而得到函數(shù)的極大值，也為最大值0，再由題意可得k²-2k＞0，解得即可．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=m（x²-4x+lnx）-（2m²+1）x+2lnx
的導(dǎo)數(shù)f′（x）=m（2x-4+

1

x

）-（2m²+1）+

2

x

，
由函數(shù)f（x）在（1，0）處的切線斜率為0，
即有f′（1）=0，f（1）=0，
即為2m²+m-1=0，且2m²+3m+1=0，
解得m=-1，
即有f（x）=-x²+x+lnx；
（2）f（x）=-x²+x+lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-2x+1+

1

x

=

-2x2+x+1

x

=

-(2x+1)(x-1)

x

，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
則有f（x）在x=1處取得極大值，也為最大值，且為0，
由于函數(shù)f（x）的圖象與直線y=k²-2k無公共點(diǎn)，
則k²-2k＞0，
解得k＞2或k＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間及極值、最值，正確求導(dǎo)和解二次不等式是解題的關(guān)鍵．