Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上的點M到直線l：y=x+1的最小距離為

2

4

．點N在直線l上，過點N作直線與拋物線相切，切點分別為A、B．
（Ⅰ）求拋物線方程；
（Ⅱ）當(dāng)原點O到直線AB的距離最大時，求三角形OAB的面積．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)y=x+b與拋物線y²=2px（p＞0）相切，且與l：y=x+1的最小距離為

2

4

，求出b，再將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用△=0，即可求拋物線方程；
（Ⅱ）當(dāng)原點O到直線AB的距離最大時，求出直線AB的方程，即可求三角形OAB的面積．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)y=x+b與拋物線y²=2px（p＞0）相切，且與l：y=x+1的最小距離為

2

4

，
則

|b-1|

2

=

2

4

，∴b=

1

2

或

3

2

（舍去），
y=x+

1

2

與拋物線y²=2px聯(lián)立，可得x²+（1-2p）x+

1

4

=0，
∴△=（1-2p）²-4=0，
∴p=1或p=0（舍去），
∴拋物線方程為y²=2x；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，y₀），則
過點A的切線方程為yy₁=x+x₁，
點N在直線上，故有y₀y₁=x₀+x₁，
同理，y₀y₂=x₀+x₂，
故直線AB的方程為y₀y=x₀+x，
y₀=x₀+1代入整理可得（y-1）x₀+1-x=0，
∴AB恒過（1，1），
O到直線AB距離最大，顯然直線AB的方程為y=-x+2，
代入拋物線方程，整理得x²-6x+4=0，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=4，
∴|AB|=

2

•

36-16

=2

10

，
∴原點O到直線AB的距離最大時，三角形OAB的面積為

1

2

×

2

×2

10

=2

5

．

點評：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定拋物線的方程是關(guān)鍵．