Question

4．為選拔參加“全市高中數(shù)學競賽”的選手，某中學舉行了一次“數(shù)學競賽”活動，為了了解本次競賽學生的成績情況，從中抽取了部分學生的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本（樣本容量為n）進行統(tǒng)計，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數(shù)的莖葉圖（圖中僅列出了得分在[50，60），[90，100]的數(shù)據(jù)）
（1）求樣本容量n和頻率分布直方圖中x，y的值并求出抽取學生的平均分
（2）在選取的樣本中，從競賽成績在80分以上（含80分）的學生在隨機抽取2名學生參加“全市高中數(shù)學競賽”，求所抽取的2名學生中至少有一人得分在[90，100]內(nèi)的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖求出得分在[50，60）的頻率為0.16，由莖葉圖得[50，60）的頻數(shù)為4，由此能求出樣本容量，由莖葉圖得[90，100）的頻率為2，由此利用頻率分布直方圖能求出頻率分布直方圖中x，y的值及抽取學生的平均分．
（2）競賽成績在80分以上（含80分）的學生有5人，其中得分在[80，90）內(nèi)的學生有3人，得分在[90，100）內(nèi)的學生有2人，由此能求出所抽取的2名學生中至少有一人得分在[90，100]的概率．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖得得分在[50，60）的頻率為0.016×10=0.16，
由莖葉圖得[50，60）的頻數(shù)為4，
∴樣本容量n=$\frac{4}{0.16}$=25．
由莖葉圖得[90，100）的頻率為2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（0.016+x+0.040+0.012+y）×10=1}\\{y=\frac{2}{25×10}}\end{array}\right.$，
解得x=0.024，y=0.008．
抽取學生的平均分為：
$\overline{x}$=55×0.016×10+65×0.024×10+75×0.040×10+85×0.012×10+95×0.008×10=72.2．
（2）競賽成績在80分以上（含80分）的學生有25（0.012×10+0.008×10）=5人，
其中得分在[80，90）內(nèi)的學生有3人，得分在[90，100）內(nèi)的學生有2人，
從競賽成績在80分以上（含80分）的學生在隨機抽取2名學生參加“全市高中數(shù)學競賽”，
基本事件總數(shù)n=${C}_{5}^{2}$=10，
所抽取的2名學生中至少有一人得分在[90，100]的對立事件是抽取的兩人得分都在[80，90）內(nèi)，
∴所抽取的2名學生中至少有一人得分在[90，100]的概率：p=1-$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{7}{10}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，考查數(shù)據(jù)處理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎題．