Question

已知k為實(shí)數(shù)，對于實(shí)數(shù)a和b定義運(yùn)算“*”：a*b=

a2-kab，a≤b b2-kab，a＞b

，設(shè)f（x）=（2x-1）*（x-1）．
（Ⅰ）若f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）已知k＞

1

2

，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（f（x））＞0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由新定義，運(yùn)用分段函數(shù)的形式求出f（x）的解析式，再由導(dǎo)數(shù)大于等于0恒成立，解不等式即可得到；
（Ⅱ）通過x=1求出f（f（1））＞0求出k＜1，再對x＞0，x≤0，分別判斷f（x）的值域，進(jìn)而求得f（f（x））的值域，即可得到k的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（2x-1）*（x-1）
=

2(2-k)x2+(3k-4)x+1-k，x≤0 (1-2k)x2+(3k-2)x+1-k，x＞0

，
若f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上為增函數(shù)，
則當(dāng)-

1

2

≤x≤0時(shí)，f（x）的導(dǎo)數(shù)4（2-k）x+3k-4≥0恒成立，
當(dāng)0＜x≤

1

2

時(shí)，f（x）的導(dǎo)數(shù)2（1-2k）x+3k-2≥0恒成立．
即有

-2(2-k)+3k-4≥0 3k-4≥0 1-2k+3k-2≥0 3k-2≥0

即為

k≥ 8 5 k≥ 4 3 k≥1 k≥ 2 3

，
解得k≥

8

5

；
（Ⅱ）由k＞

1

2

，且當(dāng)x＞0時(shí)，
當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=1-2k+3k-2+1-k=0，
f（0）=1-k，
當(dāng)k≥1時(shí)，f（0）≤0，
由當(dāng)x＞0時(shí)，f（f（x））＞0恒成立，
則k＜1．
當(dāng)

1

2

＜k＜1時(shí)，當(dāng)f（x）≤0時(shí)，拋物線開口向上，且f（x）＞f（0）=1-k，
均有f（f（x））＞f（1-k）＞0，
當(dāng)f（x）＞0，則拋物線開口向下，且f（x）＜f（0）=1-k，
均有f（f（x））＞f（1-k）＞0．
則有k的取值范圍為（

1

2

，1）．

點(diǎn)評：本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查分段函數(shù)的運(yùn)用，考查二次函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．