Question

（1）在拋物線y=x²上哪一點(diǎn)的切線平行于直線4x-y+1=0？由哪一點(diǎn)的切線垂直于這一直線？
（2）過(guò)原點(diǎn)作曲線C：y=e^x的切線，求切點(diǎn)T的坐標(biāo)．
（3）已知直線x-y-1=0與拋物線y=ax²相切，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線與圓

分析：（1）設(shè)出切點(diǎn)，求出導(dǎo)數(shù)，由兩直線平行和垂直的條件即可得到斜率，解方程即可得到切點(diǎn)，
（2）設(shè)出切點(diǎn)，求出導(dǎo)數(shù)，得到切線斜率，再由兩點(diǎn)的斜率公式，即可得到切點(diǎn)；
（3）設(shè)出切點(diǎn)，求出導(dǎo)數(shù)，由已知切線，求得斜率，再由切點(diǎn)在切線上和曲線上，得到方程，解方程即可得到a．

解答： 解：（1）設(shè)切點(diǎn)為（m，m²），y=x²的導(dǎo)數(shù)為y′=2x，
由切線平行于直線4x-y+1=0，可得2m=4，
即有m=2，即有切點(diǎn)為（2，4）．
設(shè)切點(diǎn)為（n，n²），
由切線垂直于直線4x-y+1=0，可得2n=-

1

4

，
即有n=-

1

8

，即有切點(diǎn)為（-

1

8

，

1

64

）．
故在（2，4）處的切線平行于直線4x-y+1=0，
在（-

1

8

，

1

64

）處的切線垂直于直線4x-y+1=0；
（2）設(shè)切點(diǎn)T（a，e^a），
y=e^x的導(dǎo)數(shù)為y′=e^x，
則切線的斜率為k=e^a，
由切線過(guò)原點(diǎn)，則有切線方程為y=e^ax，
又e^a=ae^a，解得a=1，
即有切點(diǎn)T（1，e）；
（3）設(shè)切點(diǎn)為（s，t），
y=ax²的導(dǎo)數(shù)為y′=2ax，
則切線的斜率為2as，
由直線x-y-1=0與拋物線y=ax²相切，
則2as=1，t=s-1，t=as²，
解得s=2，t=1，a=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，同時(shí)考查兩直線的平行和垂直的條件，注意在某點(diǎn)處的切線和過(guò)某點(diǎn)的切線的區(qū)別，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線的斜率是解題的關(guān)鍵．