Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x+a-1（a∈R，a是常數(shù)）．
（1）求f（

π

3

）的值；
（2）若函數(shù)f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的最大值與最小值之和為

3

，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先通過三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換求出函數(shù)的正弦形式，進(jìn)一步求出函數(shù)的值．
（2）利用（1）的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)一步利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的最值，利用函數(shù)的最值求出參數(shù)的值．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x+a-1
=

3

sin2x+cos2x+1+a-1
=

3

sin2x+cos2x+a
=2sin（2x+

π

6

）+a，
所以：f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a，
則：f（

π

3

）=2sin

5π

6

+a=1+a．
（2）由于：x∈[-

π

4

，

π

4

]，
所以：-

π

3

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
則：-

3

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
-

3

+a≤f(x)≤2+a，
由于函數(shù)f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的最大值與最小值之和為

3

，
則：-

3

+a+2+a=

3

，
解得：a=

3

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，函數(shù)的求值問題，利用函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域，利用函數(shù)的最值求參數(shù)的值．屬于基礎(chǔ)題型．