已知f（
x
+1）=x+2
x
；
（1）求f（x）的解析式；
（2）用定義證明f（x）的單調(diào)性．
考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)解析式的求解及常用方法
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）令
x
+1=t，（t≥1），解出x并帶入原函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義，在定義域內(nèi)設(shè)兩個變量：x1＞x2≥1，然后通過作差比較f（x1）和f（x2）大小關(guān)系即可．
解答： 解：（1）令
x
+1=t，（t≥1），x=（t-1）2；
∴f（t）=（t-1）2+2（t-1）=t2-1；
∴f（x）=x2-1，x≥1；
（2）設(shè)x1＞x2≥1，則：
f(x1)-f(x2)=x12-x22=（x1-x2）（x1+x2）＞0；
∴f（x1）＞f（x2）；
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
點評：考查通過換元求函數(shù)解析式的方法，以及根據(jù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性的過程．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=
x2
2x-1
的圖象大致是（　�。�
A、
B、
C、
D、

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若a，b∈R且a＞b，則下面三個不等式：
①
b
a
＞
b-1
a-1
； 
②（a+1）2＞（b+1）2；
③（a-1）2＞（b-1）2；
其中不成立的是
 
．（請你把正確的序號都填上）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），且對一切x＞0，y＞0，都有 f（
x
y
）=f（x）-f（y），當(dāng)x＞1時，有f（x）＞0
（1）求f（1）的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并證明；
（3）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（
1
3
）＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
1+x2
x

（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）計算f(
1
3
)+f(
1
2
)+f(1)-f(2)-f(3)的值；
（3）探究函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-a（x-1），g（x）=ex．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）過原點分別作函數(shù)f（x）與g（x）的切線，且兩切線的斜率互為倒數(shù)，證明：a=0或1＜a＜2；
（Ⅲ）求證：（1+
2
2×3
）（1+
4
3×5
）（1+
8
5×9
）…[1+
2n
(2n-1+1)(2n+1)
]＜e（其中n∈N*，ex是自然對數(shù)的底）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x＞0，設(shè)y=x+
1
x
，則（　�。�
A、y≥2B、y≤2
C、y=2D、不能確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l1過點A（-2，0），B（-5，3），
（1）求直線l1的方程；（結(jié)果寫成斜截式方程）；
（2）已知直線l2的方程為ax+2y+1=0（a∈R），若l1∥l2，求實數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=log
1
2
x，則f（4-x2）的單調(diào)增區(qū)間為（　�。�
A、（-∞，0]
B、[0，+∞）
C、（-2，0]
D、[0，2）

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