Question

函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且對(duì)一切x＞0，y＞0，都有 f（

x

y

）=f（x）-f（y），當(dāng)x＞1時(shí)，有f（x）＞0
（1）求f（1）的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并證明；
（3）若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f（

1

3

）＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法即可求f（1）的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）的單調(diào)性并證明；
（3）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）令x=y＞0，則f（1）=f（x）-f（x）=0，
所以f（1）=0．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)，
因?yàn)閤₂＞x₁＞0，所以

x2

x1

＞1⇒f(

x2

x1

)＞0，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0
即f（x₂）＞f（x₁），
所以f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（3）因?yàn)閒（6）=1，所以f（36）-f（6）=f（6），
所以f（36）=2f（6）=2．
由f(x+3)-f(

1

3

)＜2，得f（3x+9）＜f（36），
所以

x+3＞0 3x+9＜36

⇒-3＜x＜9
所以原不等式的解為（-3，9）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，利用賦值法是解決抽象函數(shù)的關(guān)鍵．