Question

7．已知商場(chǎng)銷售某種茶杯購(gòu)買(mǎi)人數(shù)n與茶杯標(biāo)價(jià)x元滿足關(guān)系式：n=-x+b（b為常數(shù)）．把購(gòu)買(mǎi)人數(shù)為零時(shí)的最低標(biāo)價(jià)稱為無(wú)效價(jià)格，已知無(wú)效價(jià)格為每個(gè)30元．現(xiàn)在這種茶杯的成本價(jià)是10/個(gè)，商場(chǎng)以高于成本價(jià)的相同價(jià)格（標(biāo)價(jià)）出售． 問(wèn)：
（1）求b的值；
（2）商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)，茶杯的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件多少元？
（3）通常情況下，獲取最大利潤(rùn)只是一種“理想結(jié)果”，如果商場(chǎng)要獲得最大利潤(rùn)的75%，那么茶杯的標(biāo)價(jià)為每個(gè)多少元？

Answer 1

分析 （1）由n=-x+b及無(wú)效價(jià)格為30/個(gè)，求出b；
（2）求出利潤(rùn)函數(shù)，由二次函數(shù)求最值；
（2）由題意得，（x-10）（-x+30）=100×75%，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由n=-x+b及無(wú)效價(jià)格為30/個(gè)，得0=-30+b，∴b=30．       （2分）
（2）由（1），得n=-x+30．設(shè)茶杯利潤(rùn)為y元，則                           （3分）
y=（x-10）（-x+30）=-x²+40x-300=-（x-20）²+100，x∈（10，30]．          （5分）
當(dāng)x=20時(shí)，y_max=100．                                                   （6分）
故商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)，茶杯的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每個(gè)20元．                           （7分）
（3）由題意得，（x-10）（-x+30）=100×75%，即x²-40x+375=0．          （10分）
解得x₁=15，x₂=25．                                                       （11分）
故商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn)的75%，根據(jù)客觀實(shí)際，每個(gè)標(biāo)價(jià)應(yīng)為15元．             （12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力及函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．