Question

8．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=1，AB=AC=$\sqrt{2}$，D為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DQ∥AP，且DQ=1，連結(jié)QB，QC，QP．
（1）證明：AQ⊥平面PBC；
（2）求二面角B-AQ-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AD，PD，PD∩AQ=O，推導(dǎo)出四邊形PADQ為正方形，從而AQ⊥DP，由線面垂直得PA⊥BC，由等腰三角形性質(zhì)得AD⊥BC，從而AQ⊥BC，由此能證明AQ⊥平面PBC．
（2）由AQ⊥平面PBC，連結(jié)OB，OC，則∠BOC為二面角B-AQ-C的平面角，由此能求出二面角B-AQ-C的平面角的余弦值．

解答 證明：（1）如圖，連結(jié)AD，PD，PD∩AQ=O，
∵AB⊥AC，AB=AC=$\sqrt{2}$，D為BC中點(diǎn)，∴AD=1，
∵PA⊥平面ABC，AD?平面ABC，∴PA⊥AD，
∵PA⊥平面ABC，AD?平面ABC，∴PA⊥AD，
∵PA=AD=1，∴四邊形PADQ為正方形，∴AQ⊥DP，
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
∵D為線段BC的中點(diǎn)，AB=AC，∴AD⊥BC，
又AD∩PA=A，∴BC⊥平面APQD，
∵AQ?平面APQD，∴AQ⊥BC，
∵DP∩BC=D，∴AQ⊥平面PBC．
解：（2）由（1）知AQ⊥平面PBC，連結(jié)OB，OC，
則∠BOC為二面角B-AQ-C的平面角，
由題意知PA=BD=1，OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OB=OC=$\sqrt{O{D}^{2}+B{D}^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}+1}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴cos∠BOC=$\frac{O{B}^{2}+O{C}^{2}-B{C}^{2}}{2•OB•OC}$=$\frac{\frac{6}{4}+\frac{6}{4}-4}{2•\frac{\sqrt{6}}{2}•\frac{\sqrt{6}}{2}}$=-$\frac{1}{3}$，
∴二面角B-AQ-C的平面角的余弦值為-$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．