Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-2ax+b
（1）若f（x）滿足f（x）=f（2-x），且方程有兩個相等的實數(shù)根，求函數(shù)的解析式；
（2）所函數(shù)f（x）的定義域和值域均為[1，a]（a＞1），求實數(shù)a的值；
（3）若f（x）在（-∞，2]上是減函數(shù)，且對任意的x₁、x₂∈[1，a+1]總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x）=f（2-x）可得函數(shù)關(guān)于x=1對稱，結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸求得a的值，再由判別式等于0求得b，則函數(shù)解析式可求；
（2）由a＞1可得f（x）=x²-2ax+b在[1，a]上單調(diào)遞減，由此列不等式組

f(1)=(1-a)2+b-a2=a f(a)=b-a2=1

，求解不等式組的a的值；
（3）由f（x）在（-∞，2]上是減函數(shù)求得a的范圍，然后求出函數(shù)在[1，a+1]上的最大值和最小值，由最大值和最小值的差小于等于4可得實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）滿足f（x）=f（2-x），
∴其對稱軸方程為x=a=1，
又方程有兩個相等的實數(shù)根，則（-2a）²-4b=0，即b=1．
∴函數(shù)的解析式為f（x）=x²-2x+1；
（2）∵f（x）=x²-2ax+b=（x-a）²+b-a²（a＞1），
∴f（x）在[1，a]上是減函數(shù)，定義域和值域均為[1，a]，
∴

f(1)=(1-a)2+b-a2=a f(a)=b-a2=1

，解得a=2；
（3）f（x）在（-∞，2]上是減函數(shù)，則a≥2，
又x=a∈[1，a+1]，且（a+1）-a≤a-1，
∴f（x）_max=f（1）=6-2a，f(x)min=f(a)=5-a2，
∵對任意的x₁、x₂∈[1，a+1]總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，
∴f（x）_max-f（x）_min≤4，
即（6-2a）-（5-a²）≤4，（a-1）²≤4，
解得：-1≤a≤3，
又a≥2，
∴2≤a≤3．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，關(guān)鍵是對二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．