【題目】如圖,在幾何體中,平面平面,四邊形為菱形,且, , ∥, 為中點.
(Ⅰ)求證: ∥平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在點,使 ? 若存在,求的值;若不存在,說明理由.
【答案】(1)見解析(2)(3)
【解析】試題分析:(Ⅰ)取 中點,連結,利用面面平行平面∥平面,得到線面平行∥平面;(Ⅱ)取中點,連結, ,先證兩兩垂直,故可以為原點, 為軸,建立空間直角坐標系,求出的方向向量,面的法向量,利用可得結果;(Ⅲ)設是上一點,且,根據(jù)共線可得的坐標,結合數(shù)量積為0,可得結果.
試題解析:(Ⅰ)
取 中點,連結.
因為分別為中點,所以∥.
又平面且平面,所以∥平面,
因為∥, ,所以∥, .
所以四邊形為平行四邊形.所以∥.
又平面且平面,所以∥平面,
又,所以平面∥平面.
又平面,所以∥平面.
(Ⅱ)
取中點,連結, .因為,所以.
因為平面平面,所以平面, .
因為, ,所以△為等邊三角形.
因為為中點,所以.
因為兩兩垂直,設,以為原點, 為軸,如圖建立空間直角坐標系,由題意得, , , , ,
, , , , .
設平面的法向量為,則即
令,則, .所以.
設直線與平面成角為,
所以直線與平面所成角的正弦值為.
(Ⅲ)設是上一點,且, ,因此點.
.由,解得.
所以在棱上存在點使得 ,此時.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某算法的程序框圖如圖所示,其中輸入的變量x在1,2,3,…,24這24個整數(shù)中等可能隨機產生.
(1)分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率Pi(i=1,2,3);
(2)甲、乙兩同學依據(jù)自己對程序框圖的理解,各自編寫程序重復運行n次后,統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻數(shù).以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分數(shù)據(jù).
甲的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)
運行 | 輸出y的值 | 輸出y的值 | 輸出y的值 |
30 | 14 | 6 | 10 |
… | … | … | … |
2100 | 1027 | 376 | 697 |
乙的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)
運行 | 輸出y的值 | 輸出y的值 | 輸出y的值 |
30 | 12 | 11 | 7 |
… | … | … | … |
2100 | 1051 | 696 | 353 |
當n=2100時,根據(jù)表中的數(shù)據(jù),分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率(用分數(shù)表示),并判斷兩位同學中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,設橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,上頂點為A,左、右焦點分別為F1、F2,線段OF1、OF2的中點分別為B1、B2,且△AB1B2是面積為4的直角三角形.
(1)求該橢圓的離心率和標準方程;
(2)過B1作直線交橢圓于P、Q兩點,使PB2⊥QB2,求△PB2Q的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于維向量,若對任意均有或,則稱為維向量. 對于兩個維向量定義.
(1)若, 求的值;
(2)現(xiàn)有一個維向量序列: 若且滿足: ,求證:該序列中不存在維向量.
(3) 現(xiàn)有一個維向量序列: 若且滿足: ,若存在正整數(shù)使得為維向量序列中的項,求出所有的.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知定義:在數(shù)列{an}中,若a ﹣a =p(n≥2,n∈N* , p為常數(shù)),則稱數(shù)列{an}為等方差數(shù)列,下列判斷:
①若{an}是“等方差數(shù)列”,則數(shù)列{an2}是等差數(shù)列;
②{(﹣1)n}是“等方差數(shù)列”;
③若{an}是“等方差數(shù)列”,則數(shù)列{akn}(k∈N* , k為常數(shù))不可能還是“等方差數(shù)列”;
④若{an}既是“等方差數(shù)列”,又是等差數(shù)列,則該數(shù)列是常數(shù)列.
其中正確的結論是 . (寫出所有正確結論的編號)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別是a、b、c滿足:cosAcosC+sinAsinC+cosB= ,且a,b,c成等比數(shù)列,
(1)求角B的大;
(2)若 + = ,a=2,求三角形ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在幾何體中,平面平面,四邊形為菱形,且, , ∥, 為中點.
(Ⅰ)求證: ∥平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱上是否存在點,使 ? 若存在,求的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若存在實數(shù)x1 , x2 , x3 , x4 滿足f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),且x1<x2<x3<x4 , 則 的取值范圍是( )
A.(20,32)
B.(9,21)
C.(8,24)
D.(15,25)
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