Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c．
（1）若f（﹣1）=0，試判斷函數(shù)f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若對(duì)x1x2∈R，且x1＜x2 ， f（x1）≠f（x2），證明方程f（x）= 必有一個(gè)實(shí)數(shù)根屬于（x1 ， x2）．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時(shí)滿足以下條件
①當(dāng)x=﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值0；
②對(duì)任意x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤ 若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（﹣1）=0，

∴a﹣b+c=0即b=a+c，

故△=b2﹣4ac=（a+c）2﹣4ac=（a﹣c）2

當(dāng)a=c時(shí)，△=0，函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a≠c時(shí)，△＞0，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)

（2）解：令g（x）=f（x）﹣ ，

∵g（x1）=f（x1）﹣ =

g（x2）=f（x2）﹣ =

∴g（x1）g（x2）=

∵f（x1）≠f（x2），

故g（x1）g（x2）＜0

∴g（x）=0在（x1，x2）內(nèi)必有一個(gè)實(shí)根．

即方程f（x）= 必有一個(gè)實(shí)數(shù)根屬于（x1，x2）

（3）解：假設(shè)a，b，c存在，由①得 =﹣1， =0

∴b=2a，c=a．

由②知對(duì)任意x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤

令x=1得0≤f（1）﹣1≤0

∴f（1）=1

∴a+b+c=1

解得：a=c= ，b= ，

當(dāng)a=c= ，b= 時(shí)，f（x）= x2+ x+ = （x+1）2，其頂點(diǎn)為（﹣1，0）滿足條件①，

又f（x）﹣x= x2﹣ x+ = （x﹣1）2，對(duì)任意x∈R，都有0≤f（x）﹣x≤ ，滿足條件②．

∴存在a=c= ，b= ，使f（x）同時(shí)滿足條件①、②．

【解析】（1）通過(guò)對(duì)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的判別式進(jìn)行分析判斷方程根的個(gè)數(shù)，從而得到零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若方程f（x）= 必有一個(gè)實(shí)數(shù)根屬于（x1 ， x2），則函數(shù)g（x）=f（x）﹣ 在（x1 ， x2）必有一零點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可以證明（3）根據(jù)條件①和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得b=2a，c=a，令x=1，結(jié)合條件②，可求出a，b，c的值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減；函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．即：方程有實(shí)數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，函數(shù)有零點(diǎn)才能正確解答此題．