Question

5．下表提供了某工廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應的生產(chǎn)能耗y（噸標準煤）的幾組對照數(shù)據(jù)．

x	3	4	5	6
y	2.5	3	3.6	4.5

（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；
（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a；
（3）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤．試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？參考公式：用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline{xy}}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2-n{{\overline x}^2}}}}，\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．

Answer 1

分析 （1）把所給的四對數(shù)據(jù)寫成對應的點的坐標，在坐標系中描出來，得到散點圖．
（2）根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出利用最小二乘法所需要的幾個數(shù)據(jù)，代入求系數(shù)b的公式，求得結(jié)果，再把樣本中心點代入，求出a的值，得到線性回歸方程．
（3）根據(jù)上一問所求的線性回歸方程，把x=100代入線性回歸方程，即可估計生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗．

解答 解：（1）把所給的四對數(shù)據(jù)寫成對應的點的坐標，在坐標系中描出來，得到散點圖．

（2）由對照數(shù)據(jù)，計算得：
$\sum _{i=1}^{4}$x_i²=86，$\sum _{i=1}^{4}$x_iy_i=66.5，$\overline{x}$=4.5，$\overline{y}$=3.5，
∴回歸方程的系數(shù)為$\hat$=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4×{4.5}^{2}}$=0.7，$\hat{a}$=0.35，
∴所求線性回歸方程為$\hat{y}$=0.7x+0.35
（3）由（2）求出的線性回歸方程，估計生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為0.7×100+0.35=70.35（噸），
∴估計生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為70.35噸．
由90-70.35=19.65（噸），
∴估計生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低19.65噸標準煤．

點評 本題考查線性回歸方程，兩個變量之間的關(guān)系，除了函數(shù)關(guān)系，還存在相關(guān)關(guān)系，通過建立回歸直線方程，就可以根據(jù)其部分觀測值，獲得對這兩個變量之間整體關(guān)系的了解．