Question

14．設{x_n}是首項為x₁=2，公比為q（q∈N^*）的等比數(shù)列，且6x₃是16x₁與2x₅的等差中項，數(shù)列{y_n}的前n項和S_n=n²（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{x_n}的通項公式；
（2）若不等式λx_ny_n-3x_n+1≤n²•2ⁿ對任意n∈N^*恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列的中項的性質和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得q=2，再由等比數(shù)列的通項公式，即可得到所求；
（2）運用數(shù)列的通項和求和的關系，可得y_n=2n-1，由題意可得λ≤$\frac{{n}^{2}+6}{2n-1}$對任意n∈N^*恒成立，對不等式的右邊變形，運用基本不等式求得最小值，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由6x₃是16x₁與2x₅的等差中項，可得
12x₃=16x₁+2x₅，即有6q²=8+q⁴，
解得q²=4或q²=2，
由q∈N^*，可得q=2．
又x₁=2，可得x_n=x₁q^n-1=2ⁿ（n∈N^*），
（2）由數(shù)列{y_n}的前n項和S_n=n²（n∈N^*），
可得y₁=S₁=1，
n＞1時，y_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
綜上可得y_n=2n-1（n∈N^*），
λx_ny_n-3x_n+1≤n²•2ⁿ對任意n∈N^*恒成立，即為
λ•2ⁿ•（2n-1）-3•2ⁿ⁺¹≤n²•2ⁿ對任意n∈N^*恒成立，
即有λ≤$\frac{{n}^{2}+6}{2n-1}$對任意n∈N^*恒成立，
由$\frac{{n}^{2}+6}{2n-1}$=$\frac{1}{4}$[（2n-1）+$\frac{25}{2n-1}$+2]≥$\frac{1}{4}$[2$\sqrt{（2n-1）•\frac{25}{2n-1}}$+2]=3，
當且僅當2n-1=$\frac{25}{2n-1}$，即n=3時，取得最小值3．
從而λ≤3．即實數(shù)λ的取值范圍是（-∞，3]．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的運用，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)分離和基本不等式求最值的方法，屬于中檔題．