Question

11．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1），向量$\overrightarrow{n}$是與$\overrightarrow{m}$垂直的單位向量．若向量$\overrightarrow{n}$與向量（1.2）的夾角b銳角，且與向量$\overrightarrow{p}$=（x-y²，$\sqrt{3}$x）垂直，則t=y²+5x²+4的最小值為4．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{n}$，根據(jù)$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{p}$得出x，y的關(guān)系，將t轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求出最小值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{n}$=（cosθ，sinθ），（θ∈[0，2π）），∵$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{m}$，∴$\sqrt{3}$cosθ+sinθ=0，即2sin（θ+$\frac{π}{3}$）=0．∴$θ+\frac{π}{3}$=kπ，∴θ=$\frac{2π}{3}$，或θ=$\frac{5π}{3}$．
∵向量$\overrightarrow{n}$與向量（1.2）的夾角b銳角，∴cosθ+2sinθ＞0，∴θ=$\frac{2π}{3}$．∴$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∵$\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{p}$，∴-$\frac{1}{2}$（x-y²）+$\frac{3x}{2}$=0，∴y²=-2x，∴t=y²+5x²+4=5x²-2x+4=5（x-$\frac{1}{5}$）²+$\frac{19}{5}$．
∵y²=-2x≥0，∴x≤0．∴當(dāng)x=0時(shí)，t取得最小值4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，二次函數(shù)的最值，屬于中檔題．