Question

4．已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)（2，0）和點(diǎn)（0，1），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其離心率．

Answer 1

分析 由題意設(shè)出橢圓方程，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)立方程組求得a，b的值，則橢圓方程可求；再由隱含條件求出c，則橢圓離心率可求．

解答 解：∵橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
∴可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)（2，0）和（0，1）
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{2}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{0}{^{2}}=1}\\{\frac{0}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{^{2}=1}\end{array}\right.$，
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
又a²=4，b²=1，∴$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}=\sqrt{3}$．
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查橢圓的簡單性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．