【題目】
已知函數(shù)f(x)=,其中a>0.
(Ⅰ)若a=1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;
(Ⅱ)若在區(qū)間上,f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)y=6x-9(Ⅱ)0<a<5
【解析】
試題(1)利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率即可;
(2)在區(qū)間上,恒成立恒成立,令,解得或,以下分兩種情況,討論,分類求出函數(shù)最大值即可.
試題解析:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x3-x2+1,f(2)=3;f' (x)=3x2-3x, f' (2)=6.
所以曲線y=f(x) 在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程y-3=6(x-2),即y=6x-9.
(2)f' (x)=3ax2-3x=3x(ax-1),令f' (x)=0,解得x=0或x=.
以下分兩種情況討論:
①若0<a≤2,則≥,當(dāng)x變化時(shí),f' (x),f(x)的變化情況如下表:
x | (-,0) | 0 | (0,) |
f' (x) | + | 0 | - |
f(x) | 遞增 | 極大值 | 遞減 |
當(dāng)x[-,]上,f(x)>0等價(jià)于,即解不等式組得-5<a<5.因此0<a≤2.
②若a>2,則0<<,當(dāng)x變化時(shí),f' (x),f(x)的變化情況如下表:
X | (-,0) | 0 | (0,) | (,) | |
f' (x) | + | 0 | - | 0 | + |
f'(x) | 遞增 | 極大值 | 遞減 | 極小值 | 遞增 |
當(dāng)x[-,]上,f(x)>0等價(jià)于,即解不等式組得<a<5,或a<-.因此2<a<5. 綜合①和②,可知a的取值范圍為0<a<5.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,左頂點(diǎn)為,左焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上,直線與橢圓交于, 兩點(diǎn),直線, 分別與軸交于點(diǎn), .
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)?若經(jīng)過,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年是五四運(yùn)動(dòng)100周年.五四運(yùn)動(dòng)以來的100年,是中國(guó)青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年,是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國(guó)、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚(yáng)五四精神在青年節(jié)到來之際,學(xué)校組織“五四運(yùn)動(dòng)100周年”知識(shí)競(jìng)賽,競(jìng)賽的一個(gè)環(huán)節(jié)由10道題目組成,其中6道A類題、4道B類題,參賽者需從10道題目中隨機(jī)抽取3道作答,現(xiàn)有甲同學(xué)參加該環(huán)節(jié)的比賽.
(1)求甲同學(xué)至少抽到2道B類題的概率;
(2)若甲同學(xué)答對(duì)每道A類題的概率都是,答對(duì)每道B類題的概率都是,且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.現(xiàn)已知甲同學(xué)恰好抽中2道A類題和1道B類題,用X表示甲同學(xué)答對(duì)題目的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩支籃球隊(duì)賽季總決賽采用7場(chǎng)4勝制,每場(chǎng)必須分出勝負(fù),場(chǎng)與場(chǎng)之間互不影響,只要有一隊(duì)獲勝4場(chǎng)就結(jié)束比賽.現(xiàn)已比賽了4場(chǎng),且甲籃球隊(duì)勝3場(chǎng).已知甲球隊(duì)第5,6場(chǎng)獲勝的概率均為,但由于體力原因,第7場(chǎng)獲勝的概率為.
(1)求甲隊(duì)分別以,獲勝的概率;
(2)設(shè)表示決出冠軍時(shí)比賽的場(chǎng)數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國(guó)南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法,其理論依據(jù)是:設(shè)實(shí)數(shù)的不足近似值和過剩近似值分別為和,則是的更為精確的不足近似值或過剩近似值.我們知道,若令,則第一次用“調(diào)日法”后得是的更為精確的過剩近似值,即,若每次都取最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),那么第四次用“調(diào)日法”后可得的近似分?jǐn)?shù)為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中,,分別為,的中點(diǎn).
(1)證明:直線平面;
(2),,,,求平面和平面所成的角(銳角)的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
已知函數(shù) 有極值,且函數(shù)的極值點(diǎn)是的極值點(diǎn),其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(極值點(diǎn)是指函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值)
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)時(shí),若函數(shù)的最小值為,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有一塊半圓形的空地,政府計(jì)劃在空地上建一個(gè)矩形的市民活動(dòng)廣場(chǎng)ABCD及矩形的停車場(chǎng)EFGH,剩余的地方進(jìn)行綠化,其中半圓的圓心為O,半徑為r,矩形的一邊AB在直徑上,點(diǎn)C,D,G,H在圓周上,E,F(xiàn)在邊CD上,且∠BOG=60°,設(shè)∠BOC=.
(1)記市民活動(dòng)廣場(chǎng)及停車場(chǎng)的占地總面積為,求的表達(dá)式;
(2)當(dāng)cos為何值時(shí),可使市民活動(dòng)廣場(chǎng)及停車場(chǎng)的占地總面積最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù),若,使得成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求證:.
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