Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=PB，E，F(xiàn)分別是PA，PB的中點．
（1）在圖中畫出過點E，F(xiàn)的平面α，使得α∥平面PCD（須說明畫法，并給予證明）；
（2）若過點E，F(xiàn)的平面α∥平面PCD且截四棱錐P-ABCD所得截面的面積為$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）分別取AD，BC的中點H，G，連接EF、EH、HG、FG，推導(dǎo)出E、F、G、H四點共面，平面FEHG為所求平面α，先求出EH∥面PCD，再求出HG∥面PCD，從而得到α∥面PCD．
（2）設(shè)PA=2a，則EF=a，GH=2a，截面α面積為梯形EFGH的面積，推導(dǎo)出梯形EFGH為直角梯形，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．

解答 證明：（1）如圖所示，分別取AD，BC的中點H，G，
連接EF、EH、HG、FG，
∵EF∥AB，AB∥HG，∴EF∥HG，即E、F、G、H四點共面，
則平面FEHG為所求平面α，
∵EH∥PD，EH?面PCD，PD?面PCD，∴EH∥面PCD．
同理可得：HG∥面PCD，且HG∩EH=H，
∴α∥面PCD．
解：（2）設(shè)PA=2a，則EF=a，GH=2a，
由（1）知截面α面積為梯形EFGH的面積，
∵PA⊥面ABCD，AB是PB在平面ABCD的射影，且AB⊥BC，∴PB⊥BC，
同理可證：EH⊥GH，∴梯形EFGH為直角梯形．
在Rt△FBG中，BF=$\sqrt{2}a$，BG=a，∴GH=2a，
∴S_梯形EFGH=$\frac{（EF+GH）•EH}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，∴a=1，
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$•PA•S_{正方形ABCD}=$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查滿足條件的平面的求法，考查四棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．