Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$m（x-1）²-2x+3+lnx（m≥1）．
（1）求證：函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間[a，b]；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使得曲線C：y=f（x）在點(diǎn)P（1，1）處的切線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）令f′（x）=0，因?yàn)椤鳎?，所以方程存在兩個(gè)不等實(shí)根，根據(jù)條件進(jìn)一步可得方程有兩個(gè)不等的正根，從而得到函數(shù)f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）先求出函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)P（1，1）處的切線l的方程，若切線l與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，則只需方程f（x）=-x+2有且只有一個(gè)實(shí)根即可．

解答 （1）證明：令f′（x）=0，得mx²-（m+2）x+1=0．  （*）
因?yàn)椤?（m+2）²-4m=m²+4＞0，所以方程（*）存在兩個(gè)不等實(shí)根，記為a，b（a＜b）．
因?yàn)閙≥1，所以a+b=$\frac{m+2}{m}$＞0，ab=$\frac{1}{m}$＞0，
所以a＞0，b＞0，即方程（*）有兩個(gè)不等的正根，因此f′（x）≤0的解為[a，b]．
故函數(shù)f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）解：因?yàn)閒′（1）=-1，所以曲線C：y=f（x）在點(diǎn)P（1，1）處的切線l為y=-x+2．
若切線l與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，則方程$\frac{1}{2}$m（x-1）²-2x+3+lnx=-x+2有且只有一個(gè)實(shí)根．
顯然x=1是該方程的一個(gè)根．
令g（x）=$\frac{1}{2}$m（x-1）²-x+1+lnx，則g′（x）=$\frac{m（x-1）（x-\frac{1}{m}）}{x}$．
當(dāng)m=1時(shí)，有g(shù)′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以x=1是方程的唯一解，m=1符合題意．
當(dāng)m＞1時(shí)，令g′（x）=0，得x₁=1，x₂=$\frac{1}{m}$，則x₂∈（0，1），易得g（x）在x₁處取到極小值，在x₂處取到極大值．
所以g（x₂）＞g（x₁）=0，又當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→-∞，所以函數(shù)g（x）在（0，$\frac{1}{m}$）內(nèi)也有一個(gè)解，即當(dāng)m＞1時(shí)，不合題意．
綜上，存在實(shí)數(shù)m，當(dāng)m=1時(shí)，曲線C：y=f（x）在點(diǎn)P（1，1）處的切線l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．